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魏 轶 敏
（武汉工程大学经济管理学院 湖北 武汉 430073）
摘 要 当产品价格服从几何布朗运动及投资具有部分可逆性时，公司可进行该项目，也可以临时关闭或退出该项目，而进入、临时关闭及退出策略作为管理柔性具有相应的实物期权价值。特别当项目残值较少时，临时关闭策略的价格阀值大于退出时的价格阀值，在临时关闭时，公司具有两种不同的实物期权，等待价格上升后再生产的等待期权及价格可能下降后的放弃该项目得残值的放弃期权。
关键词 实物期权 管理柔性 临时关闭 残值
许多投资决策问题都是在不确定性环境中作出的，比如，当油和天然气的价格波动时，这些燃料的生产厂家要决定是否扩大或压缩生产规模，而用户们则必须决定用哪一种燃料划算等等，这种实物的投资决策与金融投资决策类似，企业的各种管理柔性，如实物投资机会等可看作一个看涨期权（call option），而退出某项目相当执行了一个看跌期权（put option）等，对这种实物期权，许多文献都进行了大量的研究和探索。如Mc Dondd和Siegel分别讨论了关闭期权的值及等待投资的期权值，Dixit在文中讨论了产品价格服从一个随机游走时企业的进入及退出策略，而在文中对各种不确定性情形下的实物期权的价值进行了大量的研究，如价格不确定性、完成时间不确定性及容量选择问题等。本文在的基础上，对具有部分可逆的投资项目进行了分析探讨。
1 基本模型
考虑一个企业拥有一个垄断的对某一项目的投资机会，即该企业可根据市场形势在市场不利时可以暂时不进行投资，等待市场转好后再投资而不必担心有竞争者抢去这一投资机会。该项目的一次性投资成本为I，一旦完成投资，则有固定的产量流，在此为便利起见，把该产量流单位化为一个单位，而由于需求的变化引起产品的价格p服从一个几何布朗运动。在风险中性等价测度下，不妨设dp=(r-?啄）pdt+?滓pdz，其中r为无风险利率，?啄>０为产品的相对便利收益率或红利流率，?滓为产品价格的相对波动率，假定该单位的可变成本为常数c，该项目是永生的，除非企业退出该项目，当企业退出该项目时，可获得残值sI（0≤s≤1），当s=0时，该项目即为完全不可逆投资，s=1时，则为完全可逆投资，0<s<1时则为部分可逆投资。另外当产品价格p小于c时，由于生产是负利润，因此，企业可以临时停产，而一旦产品价格p大于c以后，企业可以重新恢复生产，暂停生产与恢复生产均无须另外付成本。
设该项目在投资前，企业的投资机会的价值（等待投资的期权）为V0(p），当p上升到某一阀值时企业进入该项目，一次性投资I，设投资后该项目价值为V1(p），当p下降到c后，企业会采取临时关闭决策，设在临时关闭时项目值为V2(p）。而当p下降到阀值pL时，企业会退出该项目，而获得残值sI。
显然肯定有pH>c，pH>pL，但pL与c的大小关系却与残值sI有关。
我们通过分析，求出pL,pH与相应的各种期权值。利用动态规划方法，投资后该项目在t时刻的值可以表示成在时段(t，t+dt)内的运营利润(p-c)dt与时刻t+dt后该项目的期望值拆现到t时刻的值之和，即V1(p)=(p-c)dt+?着t[V1(p+dp)e-rdt]，利用伊滕引理，及HJB方程得V(p)=Ap+Ap+-，其中，?茁1>1，?茁2>1为方程：?滓?茁（?茁-1）+（r-?啄）?茁-r=0的正、负根，Ap+Ap表示投资后，企业具有临时关闭或放弃得残值的期权值，A1，A2为待定常数，当p足够大时，由于p将来小于c或pL的情况几乎不可能发生，因此，临时关闭或退出的期权值会接近于零，而由于?茁２为负，当p足够大时，有Ap接近于零，但当A1不为零时，Ap会很大，因此，应有A1等于零，故此V(p)=Ap+-，要求出A2，则必须了解pL与c的大小关系，下面我们分两种不同情况进行讨论。
1.1 企业的临时关闭及退出策略
1.1.1 情形1：pL<c
此时当产品价格p位于(pL，c)之间时，企业采取临时关闭的决策，因为生产会带来负利润，在此期间，企业进行观望等待，当p上升到大于c时再恢复生产，而一旦p下降到（0，pL）之间，企业会采取退出该项目得残值sI的决策，由此，企业在临时关闭期间项目的价值V2(p)由两个实物期权：等待再生产的期权和放弃或退出项目得残值的期权构成，与前一样的思想，只是在临时关闭期间企业无利润流，因此V2(p)应满足的方程为：?滓pV″(p)+(r-?啄)pV′(p)-rV(p)=0一般解为：
V(p)=Bp+Bp，?茁，?茁如前，B1，B2为待定的常数。其中B1p表示p将来上升到大于c时再恢复生产的等待期权价值，而Bp表示p将来可能下降到小于pL时的放弃得残值的期权值，下面我们来确定A2，B1，B2及pL的值，投资后，项目的价值V(p)与价格p的关系可表示为：
V(p)=V(p) p>cV(p) p<p<csI p<p
由值匹配条件（即V(p)连续）及光滑通过条件（即V(p)可微），可得当sI<(--)c，有：
V(p)=-+[(-)+]p
其中-)p表示现在价格为p时，将来p下降到c以后采取临时关闭策略进行等待的期权价值，而p表示将来可能p下降pL到时放弃得残值的期权价值。
V(p)=(+)p+pLp，其中前一段表示在临时关闭状态时，将来再恢复生产的等待期权，而后一段为将来可能放弃该项目得残值的期权价值。当s=0时，上述结果与文中情形相同。
1.1.2 情形2：pL>c
此时，企业即使在有正的利润流的前提下，也可能会放弃该项目。因为当正的利润流很小，而项目残值较大时，企业生产所带来的期望总利润可能会小于项目残值，这时候企业的最优决策将是放弃该项目即退出，从而临时关闭策略不会发生，所以该项目在投资后的期望值V(p)为：
V(p)=V(p), p>p时sI, p<p时
在p=pL处，由值匹配条件及光滑通过条件及由pL>c可得：sI>(--)，由此，V(p)=--pp，在此情形下，临时关闭期权不会被执行，因为在此之前当产品价格下降到pL时，企业已退出该项目了。由此，当项目残值sI<(--)c时，企业按情形1作决策，而当项目残值sI>(--)c时，企业按情形2作决策。
1.2 企业的进入策略
前面已得出了企业在投资后项目的价值及退出该项目的价格阀值，那么，企业应当在产品价格pH为多大时进入该项目呢？即最优进入策略价格阀值pH为多大？在进入之前，企业具有等待投资的期权V0(p)，通过与前面同样的分析，我们可得出该项目的等待投资期权具有下面形式：V0(p)=M1p+M2p，
因为p=0是吸收壁，因此V0（O）=0，所以M2=0，由此V0(p)=M1p，
此为投资前等待投资的期权价值。当p达到pH时企业就执行投资期权，即付出成本I进入该项目，此时进入该项目后，项目期望V1(p)值，在p=pH处，等待投资的期权值应等于投资后的项目值减去投资成本I，即值匹配条件，另外在p=pH处，等待投资期权的边际收入也应与投资后的边际收入相等，即光滑通过条件，由此可用数值解求pH和M1，从而相应的等待投资期权V0(p)可求得。
2 数值求解及参数分析
下面我们分析价格p的波动率?滓对进入策略pH，退出策略pL及相应的等待投资的期权值M1p及临时关闭与退出策略的期权值A2p的影响。
固定r=?啄=0.04，c=10,I=100，s=0.5，?滓从0.1，0.2到0.4变化，由所取数据可知，有sI<(--)c，故在情形1下得出数据（见附表）。
由上可看出，pL随?滓的增大而下降，因为当价格p<c很低时，此时项目处于临时关闭状态，当?滓变大时，则将来p超过c的可能性会变大，即将来获利的可能性增大，因此只有在价格p很低时，决策者才会退出该项目，因而会使pL降低。而由于?滓的增大，即价格变动更快，增加了市场风险，因此作投资决策时会更谨慎，只有在市场很看好的情况下，才会进行投资，因此使进入策略的价格阀值pH增大。
至于?滓的变化对期权值的影响，应跟金融期权一样，即?滓增大时，期权值会变大，即A2p及M1p会增大，从数据上看，?滓的增大使A2减少，?茁2上升，M1上升，?茁1下降。因此难以直接看出A2p与M1p的变化，由于期权A2p是在运营时企业临时关闭及退出策略的期权值。因此，应在p>c下进行讨论，即p应大于10，而对于等待投资期权M1p则应p<pH在下进行比较。这两个期权值都随?滓的增加而增大。
3 总结
通过分析，我们得出了在两种情形下，企业的进入、临时关闭与退出策略。当项目残值较少时，企业进入项目后，如果市场变得不利时暂停生产是最优策略，此时企业在观望等待，如果市场转好，则恢复生产，如果市场变得更糟时，就退出该项目，在此我们求得了各种管理柔性的期权值。当项目残值较大时，企业进入项目后，如果市场变得不是很有利，即使有较小的正的利润流，企业也有可能放弃该项目而获得残值，此时，临时关闭期权不会被执行。最后通过数值分析和参数讨论得出了较好的结论。
参考文献
1 Mcyonald, Robert L., and Siegel, Daniel R. Investment and the Valuation of Firms When There is an Option to Shut down [J].
Internation Economic Review，1985（26）
2 Mcyonald, Robert L., and Siegel, Daniel R. The Value of Waiting to Invest [J]. Quarterl Journal of Economics, 1986(101)
3 Dixit, Avinash. Entry and Exit Decisionsunder Uncertainty [J]. Journal of Political Economy, 1989(97)
4 Pindyck. Robert, S. Dixit Avinash K. Investment under Uncertainty [M]. Princeton Univesity Press, Priceton New Jersey 1994
5 Pindyck, Robert, S. Irreversible Investment, Capacity Choice and the Value of the Firm [J]. American Economic Review, 1988(79)
全科论文中心http://www.issncn.net
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